suites arithmético-géométriques : découverte

suites arithmético-géométriques : découverte

Corrigé des exercices

Cette séquence est intitulée [suites arithmético-géométriques : découverte] et correspond aux fichiers et à la vidéo [suites-arithm-geom] de la playlist [LeMathoscope analyse lycée]

Elle est destinée à : des élèves de première sépcialité maths voulant comprendre les suites du type $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ et les histoires de suite auxiliaire, notion très classique dans les exercices de ce chapitre.

Elle explique pourquoi et comment on utilise ces suites auxiliaires du type $v_{n} = u_{n} - α$ , par une approche « avec les mains » assez pédagogique. Pour bien comprendre, et pour s'entraîner.

Les fichiers sont téléchargeables ici : lemathoscope.com-ftp

(un fichier énoncé + un fichier corrigé (son nom se termine par -c), chacun au format .pdf ou .html à votre convenance).
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Pour chacune des lignes $(a), (b), (c), (d)$ suivantes :

Démontrer que $(v_{n})$ est géométrique.
En déduire le terme général de $(u_{n})$ .
Vérifier sur le calcul de $u_{3}$ .

$(a)$	$u_{n + 1} = 1, 5 u_{n} - 2$	$u_{0} = 10$	$v_{n} = u_{n} - 4$
$(b)$	$u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 1, 5$	$u_{0} = 20$	$v_{n} = u_{n} - 3$
$(c)$	$u_{n + 1} = (u_{n} + 9) - 3$	$u_{0} = - 2$	$v_{n} = u_{n} - 9$
$(d)$	$u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2$	$u_{0} = 4$	$v_{n} = u_{n} - 1$

Table des matières

Suite

(a)

u_{n + 1} = 1, 5 u_{n} - 2

u_{0} = 10

v_{n} = u_{n} - 4

Suite

(b)

u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 1, 5

u_{0} = 20

v_{n} = u_{n} - 3

Suite

$(c)$

$u_{n + 1} = \frac{2}{3} (u_{n} + 9) - 3$

$u_{0} = - 2$

$v_{n} = u_{n} - 9$

Suite

$(d)$

$u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2$

$u_{0} = 4$

$v_{n} = u_{n} - 1$

Suite

$(a)$ $u_{n + 1} = 1, 5 u_{n} - 2$ $u_{0} = 10$ $v_{n} = u_{n} - 4$

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 4 = 1, 5 u_{n} - 2 - 4 = 1, 5 u_{n} - 6 = 1, 5 (u_{n} - 4) = 1, 5 v_{n}$ on a donc $v_{n + 1} = q v_{n}$ avec $q = 1, 5$

donc $v_{n} = 6 \times 1, 5^{n}$ donc maintenant $\begin{array}{c} u_{n} = 4 + 6 \times 1, 5^{n} \end{array}$

vérification, calculons $u_{1}$ de deux manières :

par récurrence, avec l'énoncé, $u_{1} = 1, 5 \times u_{0} - 2 = 15 - 2 = 13$ ;
avec le terme général, $u_{1} = 4 + 6 \times 1, 5 = 4 + 9 = 13$ .

Vérifions :

pour $n = 0$ ça donne $u_{0} = 4 + 6 \times 1 = 10$ $𝔹 𝕀 ℕ 𝔾 𝕆$
pour $n = 1$ cela donne $u_{1} = 4 + 6 \times \frac{3}{2} = 4 + 9 = 13$ $𝔹 𝕀 ℕ 𝔾 𝕆$
pour $n = 2$ cela donne $u_{2} = 4 + 6 \times \frac{9}{4} = 4 + \frac{3 \times 9}{2} = \frac{8 + 27}{2} = \frac{35}{2} = 17, 5$ $𝔹 𝕀 ℕ 𝔾 𝕆$

Suite

$(b)$ $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 1, 5$ $u_{0} = 20$ $v_{n} = u_{n} - 3$

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 3 = 0, 5 u_{n} + 1, 5 - 3 = 0, 5 u_{n} - 1, 5 = 0, 5 (u_{n} - 3)$ car $3 \times 0, 5 = 1, 5$

On a montré que $v_{n + 1} = 0, 5 v_{n}$ donc $v_{n} = 0, 5^{n} \times v_{0}$ or $v_{0} = u_{0} - 3 = 17$ et ainsi $v_{n} = 17 \times 0, 5^{n}$ qu'on peut écrire aussi $v_{n} = \frac{17}{2^{n}}$ , reste à conclure avec le terme général de $u_{n}$ en écrivant $u_{n} = 3 + \frac{17}{2^{n}}$ .

Vérification avec la calculatrice :

calculons de deux manières $u_{10}$ :

avec le terme général : $u_{10} = 3 + \frac{17}{2^{10}} = 3 + \frac{17}{1024} \approx 3, 01601563$ ;
avec la relation de récurrence (à droite ci-contre) on trouve pareil.

20 EXE -> u0

*0.5 +1.5 EXE -> u1

EXE -> u2

EXE -> …

Suite

$(c)$

$u_{n + 1} = (u_{n} + 9) - 3$

$u_{0} = - 2$

$v_{n} = u_{n} - 9$

v_{n + 1} = u_{n + 1} - 9 = (u_{n} + 9) - 3 - 9 = (u_{n} - 9)

après simplifications, et donc

v_{n + 1} = \frac{2}{3} v_{n}

v_{0} = - 11

, donc, avec la formule du terme général d'une suite géométrique :

v_{n} = - 11 \times \frac{2^{n}}{3^{n}}

d'où

u_{n} = 9 - 11 \times \frac{2^{n}}{3^{n}}

Je prend soin de vérifier en calculant $u_{0} et u_{1}$ d'une part avec la relation de récurrence d'autre part avec cette formule.

Suite

$(d)$

$u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2$

$u_{0} = 4$

$v_{n} = u_{n} - 1$

$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 1 = 3 u_{n} - 2 - 1 = 3 (u_{n} - 1) = 3 v_{n}$ et $v_{0} = 3$ d'où $u_{n} = 1 + 3^{n + 1}$ , là aussi je vérifie :

$u_{1} = 3 \times 4 - 2 = 10$ et $1 + 3^{1 + 1} = 1 + 9 = 10$ $𝔹 𝕀 ℕ 𝔾 𝕆$ .

Table des matières

Suite (a) un+1=1,5⁢un-2 u0=10 vn=un-4

Suite (b) un+1=0,5⁢un+1,5 u0=20 vn=un-3

Suite (c) un+1=(un+9)-3 u0=-2 vn=un-9

Suite (d) un+1=3⁢un-2 u0=4 vn=un-1

Suite

$(a)$ $u_{n + 1} = 1, 5 u_{n} - 2$ $u_{0} = 10$ $v_{n} = u_{n} - 4$

Suite

$(b)$ $u_{n + 1} = 0, 5 u_{n} + 1, 5$ $u_{0} = 20$ $v_{n} = u_{n} - 3$

Suite

$(c)$

$u_{n + 1} = (u_{n} + 9) - 3$

$u_{0} = - 2$

$v_{n} = u_{n} - 9$

Suite

$(d)$

$u_{n + 1} = 3 u_{n} - 2$

$u_{0} = 4$

$v_{n} = u_{n} - 1$